Pengertian Intuitif Limit

Bayangkan Anda sedang berjalan menuju sebuah pintu. Anda bisa mendekati pintu itu sedekat mungkin, hampir menyentuhnya, tapi tidak perlu benar-benar sampai menyentuhnya. Limit adalah konsep yang mirip - kita mempelajari nilai yang "didekati" oleh suatu fungsi, bukan nilai pada titik tepatnya.

Analogi Sederhana: Kecepatan Mobil

• Scenario: Sebuah mobil bergerak, dan kita ingin tahu kecepatannya pada detik tepat t = 5.
• Masalah: Speedometer tidak bisa menunjukkan kecepatan pada satu detik tepat - yang bisa diukur adalah kecepatan rata-rata dalam selang waktu.

Solusi dengan Konsep Limit:

Kecepatan pada t = 5 ≈ lim (jarak yang ditempuh) / (selang waktu)
                     Δt→0

Kita hitung kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang semakin kecil:

• Dari t = 4.9 ke t = 5.1
• Dari t = 4.99 ke t = 5.01
• Dari t = 4.999 ke t = 5.001

Semakin kecil Δt, semakin akurat perkiraan kecepatan pada detik tepat t = 5.

Definisi Formal (Intuitif)

Dalam matematika, limit merupakan konsep fundamental yang mendeskripsikan perilaku suatu fungsi ketika variabel inputnya mendekati suatu titik tertentu.

Arti Matematis:

lim f(x) = L
x→c

"Nilai fungsi f (x) akan semakin mendekati L ketika variabel x semakin mendekati c, tanpa harus mencapai nilai c itu sendiri."

• x → variabel independen yang mendekati
• c → titik yang didekati (bisa bilangan real atau ±∞)
• f(x) → fungsi yang nilainya diamati
• L → nilai limit (hasil pendekatan)

Kondisi Matematis:

Untuk setiap ε > 0 yang kecil, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga:

123

Penjelasan Kondisi:

• |x - c| → jarak x dari c
• |f(x) - L| → jarak f(x) dari nilai limit L
• Kondisi menyatakan: "Semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke L"

hh

Latihan Materi

Soal 1: Limit Dasar

lim (3x - 7)
x→4

lim (x² + 2x - 5)
x→1

Soal 2: Limit Fungsi Rasional

lim (x² - 16)/(x - 4)
x→4

lim (2x² - x - 1)/(x - 1)
x→1

Soal 3: Aplikasi Sifat Limit

Jika lim f(x) = 3 dan lim g(x) = -2, hitung: x→2 x→2

lim [2f(x) + 3g(x)]
x→2

lim [f(x) · g(x)]
x→2

lim [f(x)]²
x→2