Tujuan pembelajaran

Setelah modul ini, kamu bisa:

• (C1) menyebutkan himpunan bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irasional, dan real beserta notasinya;

• (C2) menjelaskan perbedaan bilangan rasional dan irasional serta sifat urutan dan kerapatan bilangan real;

• (C3) menyelesaikan pertidaksamaan linear, kuadrat, rasional, dan bernilai mutlak, serta menyatakan himpunan penyelesaiannya dalam notasi interval;

• (C4) menganalisis kesalahan prosedural pada penyelesaian pertidaksamaan dan menentukan letak kesalahannya;

• (C5) mengevaluasi kecukupan suatu penyelesaian dengan uji nilai dan argumen logis;

• (C6) merancang model pertidaksamaan dari situasi fisis (toleransi, kinematika, gesekan) dan mengomunikasikannya secara jujur ilmiah dengan adab menuntut ilmu.

Capaian pertemuan ini

Gambaran materi

Fisika jarang berbicara tentang satu nilai tunggal. Hasil pengukuran selalu datang dengan ketidakpastian, hukum alam sering berbentuk batas (selama sesuatu tidak melampaui nilai tertentu), dan model matematis hanya berlaku pada daerah tertentu. Bahasa yang paling alami untuk menyatakan semua itu adalah bahasa pertidaksamaan. Persamaan menyatakan kesamaan; pertidaksamaan menyatakan daerah yang diperbolehkan.

Gambar 1. Urutan inklusi ℕ ⊂ ℤ ℚ ⊂ ℝ.

Rencana belajar pekan ini

Materi dan rujukan: Sistem bilangan real dan pertidaksamaan (Purcell); pengantar tokoh al-Khwarizmi, bapak aljabar

Konteks dan kaitan

Indikator dan penilaian

Ketepatan menyelesaikan soal pertidaksamaan linear dan kuadrat

Kriteria dan teknik: Tes tertulis; rubrik ketepatan langkah

Bobot pertemuan: 3%

Daftar periksa: aku sudah bisa …

Poin materi

A Mengapa Calon Guru Fisika Perlu Menguasai Pertidaksamaan

Fisika jarang berbicara tentang satu nilai tunggal. Hasil pengukuran selalu datang dengan ketidakpastian, hukum alam sering berbentuk batas (selama sesuatu tidak melampaui nilai tertentu), dan model matematis hanya berlaku pada daerah tertentu. Bahasa yang paling alami untuk menyatakan semua itu adalah bahasa pertidaksamaan. Persamaan menyatakan kesamaan; pertidaksamaan menyatakan daerah yang diperbolehkan.

Perhatikan beberapa pernyataan fisika yang sudah akrab sejak bangku sekolah menengah:

• Gesekan statis: benda tetap diam selama gaya gesek memenuhi fs ≤ μsN. Di luar batas itu benda bergerak.

• Energi kinetik: Ek = ½mv² ≥ 0 untuk setiap kecepatan v. Fakta ini bersumber dari sifat bahwa kuadrat bilangan real tidak pernah negatif.

• Toleransi komponen: sebuah resistor berlabel 470 Ω dengan toleransi 5% berarti nilai sebenarnya R memenuhi |R − 470| ≤ 23,5.

• Resultan gaya: dua gaya dengan besar 3 N dan 4 N menghasilkan resultan yang besarnya berada pada selang 1 N hingga 7 N, tergantung sudut apit keduanya. Ini adalah ketaksamaan segitiga yang akan kita bahas pada subbab 1.8.

• Domain model: ungkapan seperti √(v² − 2gh) hanya bermakna fisis bila v² − 2gh ≥ 0.

Bagi calon guru, ada alasan tambahan. Kesulitan yang paling sering muncul ketika peserta didik mempelajari kinematika, listrik, dan optika bukan pada konsep fisikanya, melainkan pada manipulasi aljabar yang menyertainya. Guru yang tidak yakin kapan tanda pertidaksamaan harus dibalik tidak akan mampu menjelaskan mengapa suatu rentang nilai diperbolehkan dan rentang lain tidak. Karena itu, pertemuan pertama ini menjadi fondasi untuk seluruh perkuliahan selanjutnya, mulai dari fungsi, limit, hingga integral.

B Akar Historis: al-Khwarizmi dan Lahirnya Aljabar

Kata aljabar berasal dari judul sebuah buku abad ke-9 Masehi: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa al-muqābala, yang lazim diterjemahkan sebagai Ringkasan Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyeimbangan. Penulisnya adalah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (sekitar 780–850 M), yang bekerja di Bayt al-Hikmah (House of Wisdom) pada masa Khalifah al-Ma'mun. Karya ini diperkirakan ditulis sekitar tahun 820 M dan menjadi salah satu tonggak pertama aljabar sebagai disiplin tersendiri.

Dua istilah pada judul itu menggambarkan dua operasi dasar yang masih kita pakai setiap hari:

• al-jabr (pelengkapan, pemulihan): memindahkan suku negatif ke ruas lain dengan menambahkan besaran yang sama pada kedua ruas, sehingga semua suku menjadi positif. Contoh: mengubah 5x + 1 = 2 − 3x menjadi 8x + 1 = 2.

• al-muqābala (penyeimbangan, pereduksian): menghapus suku sejenis yang sama pada kedua ruas sehingga persamaan menjadi lebih sederhana.

Perhatikan bahwa kedua operasi itu adalah prinsip keseimbangan: apa pun yang dilakukan pada satu ruas harus dilakukan pada ruas lainnya. Prinsip inilah yang pada subbab 1.7 akan kita perluas menjadi sifat-sifat pertidaksamaan, dengan satu tambahan penting: bila kedua ruas dikalikan bilangan negatif, arah ketidaksamaan berbalik.

Enam tipe persamaan al-Khwarizmi

Al-Khwarizmi menyebut tiga jenis besaran: akar (jidzr, yaitu x), kuadrat (māl, yaitu x²), dan bilangan sederhana (dirham). Dengan memadukan dua dari tiga besaran itu, ia menyusun enam bentuk baku persamaan linear dan kuadrat. Pada masanya, semuanya dituliskan dengan kata-kata, tanpa simbol, dengan koefisien positif.

Tabel 1.1. Enam bentuk baku persamaan menurut al-Khwarizmi (klasifikasi dikutip dari Caglayan, 2021, berdasarkan terjemahan Rosen, 1831).

Contoh historis: x² + 21 = 10x

Dalam terjemahan Rosen (1831), al-Khwarizmi memberi contoh tipe 5: "sebuah kuadrat dan dua puluh satu dirham sama dengan sepuluh akar". Langkah penyelesaiannya, dituliskan ulang dengan simbol modern, adalah sebagai berikut.

• Bagi koefisien akar menjadi dua: 10 ÷ 2 = 5.

• Kuadratkan hasilnya: 5² = 25.

• Kurangi dengan bilangan: 25 − 21 = 4.

• Ambil akar kuadratnya: √4 = 2.

• Kurangi dari setengah koefisien akar: 5 − 2 = 3. Inilah salah satu akar. (Akar lainnya, 5 + 2 = 7, juga memenuhi.)

Verifikasi: 3² + 21 = 30 = 10·3, dan 7² + 21 = 70 = 10·7. Prosedur ini setara dengan melengkapkan kuadrat: x² − 10x + 25 = 4, sehingga (x − 5)² = 4 dan x − 5 = ±2. Menariknya, al-Khwarizmi tidak hanya memberikan resep hitung; ia juga menyertakan demonstrasi geometris berupa penggabungan persegi dan persegi panjang untuk menunjukkan mengapa prosedur itu benar.

Refleksi 1.2. Mengapa al-Khwarizmi perlu membagi persamaan ke dalam enam tipe, padahal kita sekarang cukup satu bentuk umum ax² + bx + c = 0? (Petunjuk: pikirkan peran koefisien negatif dan bilangan nol pada masa ketika simbol negatif belum lazim digunakan.)

C Sistem Bilangan: dari Bilangan Asli hingga Bilangan Real

Kalkulus, dan seluruh fisika yang bertumpu padanya, dibangun di atas sistem bilangan real. Purcell, Varberg, dan Rigdon membuka bab pendahuluan mereka dengan pernyataan serupa: bilangan yang menjadi pokok pembahasan kalkulus adalah bilangan real. Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan, kita perlu mengenal "keluarga besar" bilangan ini.

Hierarki himpunan bilangan

Tabel 1.2. Hierarki sistem bilangan. Urutan inklusi: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Representasi desimal

Setiap bilangan real dapat dituliskan sebagai desimal. Bilangan rasional memiliki desimal yang berhenti (0,25) atau berulang (1/3 = 0,333…; 2/7 = 0,285714285714…). Bilangan irasional memiliki desimal yang tidak berhenti dan tidak berulang (π = 3,14159265…). Ciri ini dipakai Purcell dkk. untuk membedakan keduanya, dan akan berguna ketika kita membahas pembulatan serta estimasi pada subbab 1.5.

Ada satu jebakan klasik: 0,999… = 1. Misalkan x = 0,999…, maka 10x = 9,999…, sehingga 10x − x = 9, atau 9x = 9, jadi x = 1. Dua penulisan desimal yang berbeda dapat menyatakan bilangan real yang sama.

Bukti bahwa √2 irasional

Bukti ini penting bagi calon guru karena memperlihatkan teknik pembuktian dengan kontradiksi, yang sering menjadi pola nalar dalam fisika teoretis.

Bukti. Andaikan √2 rasional. Maka √2 = p/q dengan p, q bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 (pecahan paling sederhana). Kuadratkan: 2 = p²/q², sehingga p² = 2q². Jadi p² genap. Karena kuadrat bilangan ganjil selalu ganjil, p harus genap; tulis p = 2k. Substitusi: 4k² = 2q², sehingga q² = 2k², dan q² genap, jadi q genap. Maka p dan q sama-sama genap, yaitu keduanya memiliki faktor persekutuan 2. Ini bertentangan dengan pengandaian bahwa pecahan itu paling sederhana. Jadi √2 irasional. ∎

Kerapatan bilangan real

Di antara dua bilangan real yang berbeda, selalu ada bilangan rasional dan bilangan irasional. Sifat ini disebut kerapatan (density). Akibatnya, tidak ada "bilangan real terkecil yang lebih besar dari 0": jika ε > 0 mungil sekalipun, maka ε/2 juga positif dan lebih kecil. Gagasan ini akan muncul kembali ketika kita menghitung limit pada Pertemuan 5.

Garis bilangan

Bilangan real dapat divisualisasikan sebagai titik-titik pada garis lurus tak berhingga: pilih satu titik sebagai nol, satu titik lain di kanannya sebagai 1, lalu setiap bilangan real berpadanan dengan tepat satu titik, dan sebaliknya. Bilangan a < b berarti titik a terletak di kiri titik b. Garis bilangan inilah "peta" yang akan kita pakai untuk membaca himpunan penyelesaian pertidaksamaan.

Refleksi 1.3. Apakah hasil kali dua bilangan irasional selalu irasional? Cari contoh yang menunjukkan jawabannya "tidak". (Petunjuk: √2 · √2.)

D Struktur Aksiomatik: Lapangan Terurut dan Kelengkapan

Mengapa tanda ketidaksamaan dibalik ketika dikalikan bilangan negatif? Jawaban "karena aturannya begitu" tidak cukup bagi seorang guru. Jawaban yang kokoh datang dari aksioma bilangan real. Kita tidak akan membangun teori secara penuh, tetapi cukup untuk melihat bahwa aturan manipulasi tersebut dapat dibuktikan.

Aksioma lapangan

Himpunan ℝ dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (·) memenuhi sembilan sifat berikut untuk semua a, b, c ∈ ℝ.

Tabel 1.3. Aksioma lapangan bilangan real (disajikan dalam bentuk ringkas; lihat Bartle dan Sherbert, 2011, Bab 2, untuk perumusan formal).

Aksioma urutan

Terdapat himpunan bagian ℝ+ (bilangan positif) yang memenuhi: (i) jika a, b ∈ ℝ+ maka a + b ∈ ℝ+ dan a · b ∈ ℝ+; (ii) untuk setiap a ∈ ℝ berlaku tepat satu dari tiga kemungkinan: a ∈ ℝ+, a = 0, atau −a ∈ ℝ+ (trikotomi). Relasi a < b didefinisikan sebagai b − a ∈ ℝ+.

Akibat yang dapat dibuktikan

Dari aksioma di atas, empat sifat berikut yang sering dipakai pada pertidaksamaan dapat dibuktikan.

Bukti (a). (b + c) − (a + c) = b − a ∈ ℝ+, sehingga a + c < b + c.

Bukti (b). b − a ∈ ℝ+ dan c ∈ ℝ+; hasil kali keduanya (b − a)c = bc − ac ∈ ℝ+, jadi ac < bc.

Bukti (c). Karena c < 0, maka −c ∈ ℝ+. Hasil kali (b − a)(−c) = ac − bc ∈ ℝ+ (sebab b − a ∈ ℝ+). Jadi bc < ac, yaitu ac > bc. Inilah alasan mengapa arah berbalik: bukan aturan hafalan, melainkan akibat langsung dari tertutupnya ℝ+ terhadap perkalian.

Bukti (d). Jika a > 0, maka a · a ∈ ℝ+. Jika a < 0, maka −a ∈ ℝ+ dan (−a)(−a) = a² ∈ ℝ+. Untuk bagian kedua: 0 < a < b memberi ab > 0, sehingga 1/(ab) > 0. Kalikan a < b dengan 1/(ab) > 0 menurut (b): 1/b < 1/a. ∎

Aksioma kelengkapan (completeness)

ℚ juga memenuhi aksioma lapangan dan urutan, tetapi ℚ "berlubang": tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2. Yang membedakan ℝ dari ℚ adalah aksioma kelengkapan: setiap himpunan tak kosong yang terbatas ke atas memiliki batas atas terkecil (supremum) di dalam ℝ. Himpunan {x ∈ ℚ : x² < 2} terbatas ke atas, tetapi supremumnya, yaitu √2, tidak berada di ℚ. Sifat kelengkapan inilah yang kelak menjamin eksistensi limit, nilai maksimum fungsi kontinu pada selang tertutup, dan integral tentu. Pada tingkat Matematika Dasar, kita cukup menyadari bahwa garis bilangan real tidak memiliki lubang.

E Estimasi, Angka Signifikan, dan Logika Dasar

Purcell dkk. menggabungkan tiga hal dalam satu subbab pembuka: bilangan real, estimasi, dan logika. Penggabungan itu tepat, sebab ketiganya adalah kebiasaan berpikir yang harus dimiliki sebelum seorang mahasiswa menyentuh kalkulator.

Estimasi sebelum menghitung

Sebelum menekan tombol kalkulator, perkirakan dahulu orde besar jawabannya. Misalnya 49,7 × 20,3 ≈ 50 × 20 = 1000; bila kalkulator menunjukkan 10.090 atau 100,9, Anda langsung tahu ada salah ketik. Dalam fisika, kebiasaan ini disebut estimasi orde besaran dan menjadi alat pengendali mutu yang murah namun ampuh.

Angka signifikan dan pembulatan

Angka signifikan adalah angka yang bermakna dalam suatu hasil ukur: semua angka pasti ditambah satu angka taksiran. Aturan praktis yang dipakai dalam praktikum:

• Angka bukan nol selalu signifikan. Nol di antara angka bukan nol signifikan (kasus: 2003 memiliki 4 angka signifikan).

• Nol di depan angka bukan nol tidak signifikan (0,0042 memiliki 2 angka signifikan).

• Nol di belakang koma desimal signifikan (3,200 memiliki 4 angka signifikan).

• Pada perkalian dan pembagian, hasil dinyatakan dengan jumlah angka signifikan terkecil di antara faktor-faktornya. Pada penjumlahan dan pengurangan, hasil mengikuti jumlah desimal terkecil.

Hubungannya dengan pertidaksamaan langsung: hasil ukur "12,3 cm" dengan ketidakpastian 0,2 cm berarti nilai sebenarnya L memenuhi |L − 12,3| ≤ 0,2, yaitu 12,1 ≤ L ≤ 12,5. Angka signifikan adalah bentuk ringkas dari pernyataan interval.

Logika: pernyataan, implikasi, dan kuantor

Seluruh teorema dalam buku ini berbentuk implikasi "jika p maka q" (ditulis p ⇒ q). Beberapa istilah yang harus dikuasai calon guru:

Tabel 1.4. Implikasi dan turunannya. Hanya kontraposisi yang selalu bernilai sama dengan implikasi asal.

Kuantor juga penting. Pernyataan "untuk setiap x ∈ ℝ, x² ≥ 0" (kuantor universal ∀) dibantah cukup dengan satu contoh penyangkal, sedangkan pernyataan "ada x ∈ ℝ sehingga x² = 2" (kuantor eksistensial ∃) dibuktikan cukup dengan satu contoh. Negasi "∀x, P(x)" adalah "∃x, bukan P(x)". Banyak miskonsepsi pertidaksamaan, seperti "x² > 4 berarti x > 2", runtuh oleh satu contoh penyangkal.

Refleksi 1.5. Tulis kontraposisi dari pernyataan fisika: "Jika benda tidak dikenai gaya luar, maka kecepatannya konstan." Apakah konversnya benar?

F Interval dan Notasi Himpunan

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan hampir selalu berupa selang pada garis bilangan atau gabungan beberapa selang. Notasi interval menuliskannya dengan ringkas. Kurung biasa "( )" berarti ujung tidak termasuk (titik terbuka), kurung siku "[ ]" berarti ujung termasuk (titik tertutup).

Tabel 1.5. Jenis-jenis interval. Simbol ∞ bukan bilangan real, sehingga selalu dipasangkan dengan kurung biasa.

Dua operasi himpunan yang sering diperlukan: gabungan (∪, "atau") dan irisan (∩, "dan"). Contoh: [1, 5) ∩ (3, 8] = (3, 5), sedangkan (−∞, −2) ∪ (5, ∞) menyatakan semua bilangan real kecuali yang berada pada selang [−2, 5].

G Pertidaksamaan: Sifat, Metode, dan Contoh Terselesaikan

Sifat-sifat dasar

Menyelesaikan pertidaksamaan berarti mengubahnya menjadi pertidaksamaan yang setara (memiliki himpunan penyelesaian yang sama) dan lebih sederhana, sama seperti al-muqābala pada persamaan. Teorema 1.2 memberi tiga operasi yang diizinkan.

Tabel 1.6. Operasi yang diizinkan pada pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan kuadrat dan metode titik pemecah

Untuk pertidaksamaan polinomial dan rasional, metode yang paling andal adalah metode titik pemecah (sign analysis). Prosedurnya:

• Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya nol.

• Faktorkan ungkapan itu seluas mungkin.

• Tentukan titik-titik tempat ungkapan bernilai nol atau tak terdefinisi (titik pemecah) dan tandai pada garis bilangan.

• Titik-titik pemecah membagi garis bilangan menjadi selang. Ambil satu titik uji dari tiap selang, tentukan tanda ungkapan pada selang itu.

• Pilih selang yang tandanya sesuai. Periksa secara terpisah apakah titik pemecah termasuk (hanya bila tanda ≤ atau ≥, dan ungkapan terdefinisi di sana).

Pertidaksamaan rasional

Pada pecahan, jangan mengalikan silang dengan penyebut yang tandanya belum diketahui. Pindahkan semua suku ke satu ruas, samakan penyebut, lalu gunakan metode titik pemecah. Titik yang membuat penyebut nol tidak pernah termasuk himpunan penyelesaian.

H Nilai Mutlak dan Ketaksamaan Segitiga

Nilai mutlak mengukur jarak suatu bilangan dari nol pada garis bilangan, tanpa memperhatikan arah. Secara formal:

|x| = x jika x ≥ 0; |x| = −x jika x < 0.

Interpretasi geometris yang lebih berguna: |a − b| adalah jarak antara titik a dan titik b. Karena itu pernyataan |x − 3| < 2 berarti "jarak x dari 3 kurang dari 2", yakni 1 < x < 5. Pembacaan ini ternyata sama persis dengan bahasa toleransi pada fisika: "nilai x berada dalam rentang 2 dari nilai nominal 3".

Sifat-sifat nilai mutlak

• |x| ≥ 0, dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0;

• |−x| = |x|; |xy| = |x||y|; |x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0);

• √(x²) = |x| (bukan x!); |x|² = x²;

• −|x| ≤ x ≤ |x|.

Contoh terselesaikan

Ketaksamaan segitiga

Bukti. Dari −|a| ≤ a ≤ |a| dan −|b| ≤ b ≤ |b|, jumlahkan keduanya: −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|. Menurut Teorema 1.3(i) (dalam versi ≤), ini setara dengan |a + b| ≤ |a| + |b|. Untuk bentuk terbalik, tulis |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|, sehingga |a| − |b| ≤ |a − b|; dengan menukar peran a dan b diperoleh |b| − |a| ≤ |a − b|, dan keduanya menghasilkan ||a| − |b|| ≤ |a − b|. ∎

Mengapa disebut "segitiga"? Pada ruang dua dimensi, panjang satu sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang dua sisi lainnya. Gagasan yang sama menyatakan bahwa besar resultan dua vektor tidak melebihi jumlah besar masing-masing vektor. Kelak, pada Pertemuan 11, kita akan menyaksikan |a + b| ≤ |a| + |b| berlaku juga untuk vektor, dan fisikawan menggunakannya setiap kali menaksir batas atas suatu resultan gaya.

J Aplikasi dalam Fisika

Bagian ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan bukan "pelajaran aljabar yang terpisah", melainkan perkakas modeling. Setiap contoh mengikuti pola tiga tahap yang juga menjadi kerangka literasi matematika PISA 2022: merumuskan situasi secara matematis, menggunakan konsep dan prosedur matematika, lalu menafsirkan dan mengevaluasi hasilnya dalam konteks.

Refleksi 1.9. Pada Contoh 1.13, mengapa kita tidak boleh membagi dengan cos θ tanpa memeriksa tandanya, dan apa yang terjadi bila θ = 90°?

K Miskonsepsi Lazim dan Pengetahuan Pedagogis Calon Guru

Seorang calon guru perlu menguasai bukan hanya jawaban benar, melainkan juga pola kesalahan yang kemungkinan muncul pada peserta didiknya. Tabel berikut merangkum miskonsepsi yang paling sering ditemukan pada topik ini, lengkap dengan contoh penyangkal yang dapat dipakai di kelas.

Tabel 1.7. Miskonsepsi pada pertidaksamaan, penyebabnya, dan koreksinya.

L Integrasi Kurikulum Nasional, Internasional, Qanun Asasi, Khittah NU, dan Nilai Luhur Cirebon

Bagian ini menunjukkan bahwa materi pertidaksamaan tidak berdiri sendiri. Ia bertemu dengan standar pendidikan tinggi nasional, kurikulum sekolah, praktik internasional, serta nilai-nilai yang dihidupi komunitas Nahdliyin dan masyarakat Cirebon. Perlu dicatat sejak awal: keterkaitan nilai di sini bersifat analogi pedagogis (jembatan untuk menumbuhkan karakter dan makna), bukan klaim bahwa teks keagamaan atau tradisi tersebut membahas pertidaksamaan secara matematis.

A. Kurikulum nasional

• Standar Nasional Pendidikan Tinggi. Rancangan pembelajaran ini bertumpu pada capaian pembelajaran lulusan (CPL) yang diturunkan menjadi CPMK dan Sub-CPMK, sesuai struktur standar nasional pendidikan tinggi yang kini diatur dalam Permendiktisaintek Nomor 39 Tahun 2025 tentang Penjaminan Mutu Pendidikan Tinggi (peraturan ini mencabut Permendikbudristek Nomor 53 Tahun 2023). Dalam struktur itu, standar luaran (kompetensi lulusan yang dirumuskan dalam CPL), standar proses, dan standar masukan saling selaras. Sub-CPMK 1 pada RPS memenuhi tuntutan keselarasan tersebut: tujuan (menyelesaikan pertidaksamaan), proses (ceramah interaktif, diskusi), dan penilaian (tes tertulis dengan rubrik langkah) berada dalam satu garis.

• Kurikulum sekolah (Kurikulum Merdeka). Capaian Pembelajaran jenjang pendidikan dasar dan menengah ditetapkan melalui Keputusan Kepala BSKAP Nomor 032/H/KR/2024 (edisi 2024) dan, menurut daftar rujukan yang saya temukan, diperbarui lagi melalui Keputusan Kepala BSKAP Nomor 046/H/KR/2025. Capaian Pembelajaran Matematika disusun dalam elemen konten dan elemen proses, dan komunikasi matematis termasuk kecakapan proses. Calon guru fisika perlu memahami bahwa pertidaksamaan, nilai mutlak, dan fungsi kuadrat adalah bahan yang kelak mereka temui pada pembelajaran matematika dan fisika di SMA/MA. Catatan kehati-hatian: nomor butir CP spesifik per fase harus dicocokkan Bapak/Ibu dengan dokumen resmi edisi terbaru.

• Kerangka Kualifikasi Nasional Indonesia (KKNI). Lulusan S1 berada pada level 6 KKNI (Perpres Nomor 8 Tahun 2012), yang menuntut kemampuan menerapkan bidang keahlian dan memanfaatkan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan masalah. Penyelesaian masalah kuantitatif pada fisika adalah salah satu wujud nyatanya.

B. Kurikulum dan standar internasional

• Outcome-Based Education (OBE). Spady (1994) merumuskan OBE sebagai pengorganisasian seluruh sistem pendidikan di sekitar apa yang benar-benar mampu dilakukan peserta didik pada akhir pembelajaran. Biggs dan Tang (2011) melengkapinya dengan gagasan constructive alignment: capaian, aktivitas belajar, dan asesmen harus selaras. Tabel Pertemuan 1 pada RPS dapat dibaca sebagai penerapan langsung gagasan ini.

• Taksonomi Bloom revisi. Anderson dan Krathwohl (2001) merevisi taksonomi menjadi enam proses kognitif: mengingat (C1), memahami (C2), menerapkan (C3), menganalisis (C4), mengevaluasi (C5), dan mencipta (C6). Latihan soal pada Bagian C disusun mengikuti urutan ini.

• Literasi matematika PISA 2022. Kerangka PISA 2022 (OECD, 2023) memandang literasi matematika sebagai kemampuan merumuskan, menggunakan, dan menafsirkan matematika dalam berbagai konteks. Siklus ini digunakan pada Subbab 1.9.

• NCTM.Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) menempatkan pemecahan masalah, penalaran dan pembuktian, komunikasi, koneksi, dan representasi sebagai standar proses. Kelimanya hadir pada pertemuan ini: pemecahan masalah (Contoh 1.12), penalaran dan pembuktian (Teorema 1.1–1.4), komunikasi (notasi interval), koneksi (fisika), dan representasi (garis bilangan).

C. Qanun Asasi Nahdlatul Ulama

Qanun Asasi adalah dokumen dasar Nahdlatul Ulama yang disusun Hadratussyaikh KH. Hasyim Asy'ari. Muqaddimahnya merujuk pada ayat-ayat Al-Qur'an, hadis, dan pendapat sahabat, serta menekankan persatuan umat dan pentingnya ilmu. Sebuah kajian di jurnal JIEP (Universitas Hasyim Asy'ari Tebuireng) membaca muqaddimah itu sebagai kerangka epistemologis dengan struktur aqidah–fiqh–tasawwuf yang melahirkan empat prinsip: tawassuth (moderat), tawazun (seimbang), tasamuh (toleran), dan i'tidal (adil/tegak). Prinsip-prinsip yang sama dicantumkan pula pada CPL-1 mata kuliah ini.

D. Khittah Nahdlatul Ulama 1926

Rumusan Khittah NU diputuskan pada Muktamar ke-27 NU di Situbondo (1984), menegaskan kembali NU sebagai jam'iyah diniyah-ijtima'iyah (organisasi keagamaan dan kemasyarakatan). Dalam sikap kemasyarakatannya, Khittah menyebut empat prinsip: tawassuth dan i'tidal, tasamuh, tawazun, serta amar ma'ruf nahi munkar. Bagi seorang calon guru dari lingkungan NU, mengajar matematika dan fisika dengan benar dan santun adalah bagian dari khidmah (pengabdian) kepada masyarakat.

E. Nilai luhur Kesultanan Cirebon: Sunan Gunung Jati (Syekh Syarif Hidayatullah)

Syarif Hidayatullah, yang dikenal sebagai Sunan Gunung Jati, adalah salah satu dari Wali Songo dan peletak dasar Kesultanan Cirebon. Di bawah kepemimpinannya Cirebon berkembang sebagai pusat perdagangan yang bekerja sama dengan negeri-negeri seperti Malaka, Campa, Arab, India, dan Cina. Masyarakat Cirebon mewarisi sejumlah petatah-petitih yang dinisbatkan kepadanya; yang paling dikenal adalah wasiat "Ingsun titip tajug lan fakir miskin" (aku titipkan tajug/masjid dan fakir miskin). Dalam tafsir yang beredar, tajug menunjuk pada pembinaan akidah dan pusat ilmu, sedangkan fakir miskin menunjuk pada kepedulian sosial dan pemberdayaan ekonomi. Sebagian peneliti mempersoalkan keaslian sejumlah petatah-petitih tertentu, karena itu penulisan "dinisbatkan" sengaja dipakai di sini.

Jembatan dengan topik hari ini: pelabuhan dagang memerlukan takaran, timbangan, dan perhitungan harga yang adil. Al-Qur'an mengaitkan keadilan itu dengan mīzān (neraca): Surah Ar-Rahman ayat 7 sampai 9 memerintahkan menegakkan timbangan dengan adil dan tidak mengurangi neraca, sedangkan Surah Al-Muthaffifin ayat 1 sampai 3 mengecam kecurangan dalam menakar dan menimbang. (Pembaca dianjurkan mencocokkan redaksi dan terjemahan pada Mushaf dan terjemah resmi Kementerian Agama.) Pertidaksamaan memberi bahasa kuantitatif bagi gagasan batas yang wajar: harga tidak boleh di bawah titik impas dan tidak boleh melampaui kemampuan pembeli.

F. Peta integrasi ringkas

Tabel 1.8. Peta integrasi nilai dan standar pada Pertemuan 1.

M Rangkuman dan Peta Konsep

Tabel 1.9. Rangkuman pertemuan 1.

Peta konsep (alur berpikir)

Tabel 1.10. Lima tahap berpikir menyelesaikan masalah pertidaksamaan.

Latihan

Latihan ini berada pada level C6 (Mencipta): kamu merancang himpunan penyelesaian, model, contoh penyangkal, bukti, dan rencana pembelajaran. Ada 6 soal interaktif bernilai (masing-masing sekitar 16,7 poin) dan 1 tantangan tanpa nilai otomatis. Setelah menekan tombol periksa, kamu hanya melihat skor akhir. Kunci jawaban tidak ditampilkan.

1. Rancang himpunan penyelesaian. Selesaikan x² − 4x − 12 ≥ 0. Ketuk bagian garis bilangan yang menjadi penyelesaian (titik pemecah dan selang di antaranya dihitung terpisah).

2. Rancang daerah jarak. │x − 4│ ≥ 3 berarti jarak x dari 4 sedikitnya 3. Ketuk bagian garis bilangan yang memenuhi.

3. Rancang model toleransi. Sebuah pegas diterima bila panjangnya antara 18,4 cm dan 19,6 cm (kedua ujung ikut). Nyatakan sebagai │L − c│ ≤ r, lalu isi c dan r.

4. Rancang contoh penyangkal. Klaim: “jika x² > 9 maka x > 3”. Masukkan satu bilangan x yang membuat premis B tetapi kesimpulan S.

5. Bangun bukti. Diketahui │a│ ≤ 3 dan │b│ ≤ 4. Buktikan │a + b│ ≤ 7 dengan memilih pernyataan dan alasan yang tepat pada tiap baris (satu langkah, satu alasan).

6. Rancang kegiatan “Numerasi Tajug”. Susun rencana 60 menit untuk siswa madrasah tentang rentang dan toleransi dengan memilih komponen yang paling tepat.

7. Tantangan dan refleksi. Tidak dinilai otomatis; tulis hasilnya pada catatan di bawah. (1) Rancang satu soal fisika orisinal yang memuat pertidaksamaan nilai mutlak (toleransi) dan pertidaksamaan kuadrat atau rasional, lengkap dengan penyelesaian dan satu miskonsepsi yang diungkap. (2) Apa bedanya “langkah yang sah” dengan “hasil yang kebetulan benar”?

Catatan latihan

Catatan belajar

Bukti penyelesaian

Setelah latihan selesai dan skor keluar, unduh bukti penyelesaian pelajaran ini dalam bentuk gambar PNG yang memuat nama, judul pelajaran, skor, tanggal, dan kode verifikasi.