MatDis TI Pertemuan 1: Proposisi, Konektif Logika, dan Tabel Kebenaran
Teknik Informatika
Tujuan pembelajaran
Modul Pembelajaran · Pertemuan 1. Berpikir Logis dari Nol: proposisi, konektif, dan tabel kebenaran. Matematika Diskrit · Sub-CPMK1 (tahap 1).
Enam konektif yang kita pelajari hari ini.
Setelah modul ini, kamu bisa:
- menjelaskan mengapa Matematika Diskrit ada di jantung informatika;
- membedakan kalimat yang proposisi dan yang bukan;
- menyusun tabel kebenaran untuk ¬, ∧, ∨, ⊕, →, dan ↔ — lalu memakainya untuk proposisi majemuk;
- menerjemahkan kalimat sehari-hari ke rumus logika, dan mengeceknya dengan kode Python.
Sub-CPMK1 (tahap 1) · Edisi pertama · Semester Ganjil · Oktober 2026
0Mulai dari Sini
Peta kecil sebelum kamu berangkat
Halo! Modul ini menemani kamu di pertemuan pertama Matematika Diskrit. Tidak ada prasyarat — cukup rasa ingin tahu dan kesediaan mencoret-coret kertas. Di akhir modul, kamu akan paham bahwa “benar atau salah” ternyata bisa dihitung, dan mengapa kemampuan itu penting bagi seorang informatikawan.
Capaian pertemuan ini
| No | Kamu akan mampu … | Dipelajari di |
|---|---|---|
| 1 | Menjelaskan peran Matematika Diskrit dalam informatika dan kaitannya dengan CS2023 | Bagian A |
| 2 | Membedakan proposisi dan bukan proposisi | Bagian B |
| 3 | Menyusun tabel kebenaran untuk ¬ ∧ ∨ ⊕ → ↔ | Bagian C dan D |
| + | Bonus: menerjemahkan kalimat ke logika dan mengeceknya lewat kode | Bagian E dan F |
Rencana belajar pekan ini
| Kapan | Apa yang dilakukan | Waktu |
|---|---|---|
| Sebelum kelas (belajar mandiri) | Baca Bagian A–C pelan-pelan; tonton video pengantar dan kerjakan tes awal di LMS | 3 × 60′ |
| Saat kelas (tatap muka) | Kontrak kuliah dan peta materi; proposisi; konektif dan tabel kebenaran; latihan terbimbing | 3 × 50′ |
| Setelah kelas (penugasan terstruktur) | Kerjakan Latihan (Bagian H) — tantangan mencipta (C6) yang interaktif | 3 × 60′ |
Cara membaca modul ini
Kotak berwarna adalah “rambu” di sepanjang jalan. Kenali lima yang paling sering muncul:
trik dan cara cepat yang membantumu.
kesalahan yang paling sering terjadi — baca dua kali!
berhenti sebentar dan kerjakan sendiri sebelum lanjut.
kaitan dengan sejarah, khazanah keilmuan Islam, dan dunia nyata.
kesepakatan belajar dan integritas akademik.
Notasi nilai kebenaran di modul ini memakai B (benar) dan S (salah). Buku berbahasa Inggris memakai T/F, dan di sirkuit digital dipakai 1/0. Ketiganya sama — biasakan membaca semuanya.
AKenapa Matematika Diskrit?
Bahasa matematika bagi dunia komputer
A.1 Dua dunia: yang mulus dan yang terpisah-pisah
Bayangkan mengatur volume. Pada pemutar kaset lama, kamu memutar knob dan suara membesar mulus, tanpa lompatan. Di ponselmu, volume naik satu langkah setiap kali tombol ditekan. Knob adalah dunia kontinu; tombol adalah dunia diskrit.
Komputer sepenuhnya hidup di dunia tombol: bit (0 atau 1), karakter, paket data, simpul jaringan, baris dalam tabel. Matematika Diskrit adalah cabang matematika yang membahas objek-objek yang terpisah-pisah seperti itu, dan karena itu sering disebut sebagai bahasa matematika bagi ilmu komputer.
| Dunia kontinu | Dunia diskrit | |
|---|---|---|
| Objek | bilangan real: 3,14159… | bilangan bulat, bit, karakter |
| Struktur khas | kurva dan fungsi mulus | himpunan, graf, pohon, string |
| Pertanyaan khas | “Seberapa cepat nilainya berubah?” | “Berapa banyak cara?” “Apakah terhubung?” “Apakah pernyataan ini benar?” |
| Alat utama | kalkulus | logika, pencacahan, teori bilangan, graf |
| Wajah di komputer | simulasi fisika, grafika | algoritma, basis data, kriptografi, jaringan |
A.2 Kenapa kamu perlu belajar ini?
Setiap topik di mata kuliah ini akan muncul lagi di mata kuliah lain. Beberapa contohnya:
- Algoritma dan pemrograman — kondisi if dan while adalah logika; membuktikan program benar membutuhkan teknik pembuktian.
- Basis data — klausa WHERE dengan AND, OR, NOT adalah logika proposisional; tabel adalah relasi (himpunan).
- Kriptografi dan keamanan — aritmetika modular menjadi tulang punggung sandi klasik dan RSA.
- Jaringan — peta jaringan adalah graf; mencari rute terpendek adalah algoritma graf.
- Arsitektur komputer — gerbang logika adalah konektif logika yang dibangun dari transistor (kita bertemu lagi di pertemuan 15).
A.3 Peta perjalanan satu semester
Gambar 1. Enam blok materi semester ini (disesuaikan dengan RPS). Proyek terpadu berjalan paralel: tim dibentuk di pertemuan 6, proposal di pertemuan 10, presentasi di pertemuan 15.
Computer Science Curricula 2023 (CS2023) adalah pedoman kurikulum S1 ilmu komputer yang disusun bersama oleh ACM, IEEE Computer Society, dan AAAI, dan dirilis pada 2024. Pedoman ini memuat 17 area pengetahuan; salah satunya Mathematical and Statistical Foundations (MSF), penerus area “Discrete Structures” pada CS2013, dengan unit bernama MSF-Discrete: Discrete Mathematics. Artinya, mata kuliah yang sedang kamu ikuti ini bagian dari fondasi yang diakui secara internasional — bukan sekadar syarat kelulusan.
A.4 Kontrak kuliah ringkas
Berikut komponen penilaian semester ini, sesuai RPS. Simpan tabel ini; kamu akan sering membukanya.
| Komponen | Bobot | Kapan |
|---|---|---|
| Kehadiran | 6% | tiap blok materi (1% per blok) |
| Keaktifan dan sikap | 6% | tiap blok materi (1% per blok) |
| Kuis (4 kali) | 12% | pertemuan 3, 7, 10, dan 12 (3% per kuis) |
| Tugas terstruktur — ProBL (5 kali) | 10% | pertemuan 2, 5, 9, 11, dan 13 (2% per tugas) |
| Proyek terpadu — PjBL | 16% | proposal pertemuan 10 (4%); laporan dan presentasi pertemuan 15 (12%) |
| UTS | 20% | pertemuan 8 |
| UAS | 30% | pertemuan 16 |
| Total | 100% |
| Nilai huruf | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| Rentang angka | 86 – 100 | 76 – 85 | 66 – 75 | 56 – 65 | 0 – 55 |
| Keterangan | Sangat baik | Baik | Cukup | Kurang | Gagal |
Kerja kamu harus orisinal, semua sumber dikutip, dan penggunaan alat bantu — termasuk AI generatif — wajib dinyatakan dan hasilnya kamu verifikasi sendiri. Pelanggaran integritas akademik diproses sesuai peraturan akademik. Menggunakan AI untuk menjelaskan ulang konsep itu sah. Tetapi kuis dan ujian dikerjakan tanpa alat bantu, jadi latihan yang kamu serahkan sepenuhnya ke AI adalah latihan yang tidak melatihmu. Kerjakan dulu sendiri, baru bandingkan dengan AI atau temanmu, lalu catat bedanya.
BProposisi: Kalimat yang Bisa Dinilai
Kalimat apa yang bisa kita sebut benar atau salah?
Logika dimulai dari pertanyaan sederhana: kalimat seperti apa yang bisa kita nilai benar atau salah? Tidak semua kalimat bisa. “Tutup pintunya!” tidak bisa dibilang benar atau salah — ia hanya perintah. Kalimat yang lolos ujian ini disebut proposisi.
Proposisi (pernyataan) adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar saja atau salah saja — tidak keduanya, dan tidak ragu-ragu. Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, … (disebut variabel proposisional). Nilainya disebut nilai kebenaran: B atau S.
B.1 Uji kalimat: proposisi atau bukan?
| No | Kalimat | Proposisi? | Alasan |
|---|---|---|---|
| 1 | Cirebon berada di Provinsi Jawa Barat. | Ya (B) | Pernyataan fakta; nilainya jelas benar. |
| 2 | 2 + 3 = 6 | Ya (S) | Pernyataan yang salah. Salah pun tetap proposisi! |
| 3 | Setiap bilangan genap lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan prima. | Ya (nilai belum diketahui) | Ini konjektur Goldbach: sampai sumber yang diperiksa pada Oktober 2026 belum terbukti maupun terbantah. Tetap proposisi — pasti B saja atau S saja. |
| 4 | Pukul berapa kuliah dimulai? | Bukan | Kalimat tanya. |
| 5 | Kumpulkan tugas sebelum Jumat! | Bukan | Kalimat perintah. |
| 6 | x + 1 = 5 | Bukan | Kalimat terbuka: nilainya bergantung pada x. (Pekan 3: dengan kuantor, ia bisa menjadi proposisi.) |
| 7 | Empal gentong lebih enak daripada nasi jamblang. | Bukan | Soal selera, tanpa kriteria yang jelas. |
| 8 | Kalimat ini salah. | Bukan | Paradoks pembohong: jika dianggap B maka ia S, jika dianggap S maka ia B. Tidak ada nilai yang konsisten. |
| 9 | Semoga kita lulus tepat waktu. | Bukan | Harapan, bukan pernyataan fakta. |
| 10 | Hari ini hujan. | Ya, jika konteksnya jelas | Nilainya bergantung pada waktu dan tempat yang dimaksud. Jika keduanya ditetapkan, ia proposisi. |
Gambar 2. Dua pertanyaan penyaring. Kalau kalimat lolos keduanya, ia proposisi.
“Aku belum tahu nilainya” bukan berarti “bukan proposisi”. Yang menentukan adalah apakah kalimat itu pada dasarnya punya nilai B atau S yang pasti — bukan apakah kita sudah mengetahuinya. Dan sebaliknya: proposisi yang salah tetap proposisi.
B.2 Proposisi atomik dan proposisi majemuk
Proposisi atomik adalah proposisi yang tidak bisa dipecah lagi menjadi proposisi yang lebih kecil. Proposisi majemuk dibangun dari beberapa proposisi atomik yang dihubungkan dengan kata penghubung logika.
| Kalimat | Jenis | Penguraian |
|---|---|---|
| “Hari ini hujan.” | atomik | p : hari ini hujan |
| “Hari ini hujan dan jalan banjir.” | majemuk | p : hari ini hujan; q : jalan banjir; rumus: p ∧ q |
| “Jika server mati, maka layanan berhenti.” | majemuk | p : server mati; q : layanan berhenti; rumus: p → q |
Dalam ilmu mantiq — logika klasik yang dipelajari di pesantren — dikenal istilah qadhiyyah: ucapan yang dari dirinya sendiri dapat dikatakan benar atau salah (dalam terjemahan kitab Sullam al-Munawraq, ia juga disebut khabar). Kalimat tanya dan perintah tidak termasuk. Kemiripannya dengan proposisi sangat dekat, sehingga qadhiyyah sering dipakai sebagai padanan konseptual. Tetapi keduanya tumbuh dalam tradisi dan sistem yang berbeda — jadi “mirip”, bukan “sama persis”. Kita bandingkan lebih jauh di Bagian G.
Mana yang proposisi? (a) “Lampu merah berarti berhenti.” (b) “Berhentilah!” (c) “Tiga lebih besar dari lima.”
Lihat jawaban contoh
(a) proposisi (B); (b) bukan, perintah; (c) proposisi (S).
CKonektif: Enam Cara Menggabungkan
Dari proposisi atomik menjadi proposisi majemuk
Proposisi atomik jarang tampil sendirian. Kita menggabungkannya dengan konektif (operator logika), mirip seperti kata “dan” dan “atau” menggabungkan kalimat. Ada enam konektif yang harus kamu kuasai hari ini.
| Simbol | Nama | Dibaca | Python | Gerbang |
|---|---|---|---|---|
| ¬p | negasi | “tidak p” | not p | NOT |
| p ∧ q | konjungsi | “p dan q” | p and q | AND |
| p ∨ q | disjungsi (inklusif) | “p atau q” | p or q | OR |
| p ⊕ q | disjungsi eksklusif | “p atau q, tetapi tidak keduanya” | p != q | XOR |
| p → q | implikasi | “jika p maka q” | (not p) or q | — |
| p ↔ q | biimplikasi | “p jika dan hanya jika q” | p == q | XNOR |
C.1 Negasi ¬p — “membalik”
Negasi membalik nilai kebenaran: yang B menjadi S, yang S menjadi B. Dibaca “tidak p” atau “tidak benar bahwa p”.
| p | ¬p |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Negasi dari “nilai > 70” adalah “nilai ≤ 70”, bukan “nilai < 70”. Nilai tepat 70 ikut terhitung dalam negasi!
C.2 Konjungsi p ∧ q — “dan”
Konjungsi bernilai B hanya jika kedua proposisinya B. Cukup satu yang salah, seluruhnya salah.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Kata bahasa sehari-hari yang diterjemahkan menjadi ∧: dan, serta, tetapi, namun, meskipun, sedangkan. Contoh dalam kode: if umur >= 17 and punya_ktp:
Dalam logika, “tetapi” sama dengan “dan”. “Hujan, tetapi aku tetap berangkat” ditulis p ∧ q — nuansa kontrasnya hilang, yang tersisa hanya: keduanya benar.
C.3 Disjungsi p ∨ q — “atau”
Disjungsi bernilai S hanya jika kedua proposisinya S. Selama ada satu yang B, hasilnya B — termasuk bila keduanya B (itulah arti inklusif).
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh: “Kamu bisa masuk jika memasukkan kata sandi atau memakai sidik jari.” Kalau kamu melakukan keduanya, tentu tetap bisa masuk.
C.4 Disjungsi eksklusif p ⊕ q — “salah satu saja”
XOR bernilai B jika tepat satu proposisi bernilai B. Bedanya dengan ∨ hanya satu baris: ketika keduanya B, hasil XOR adalah S.
| p | q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| B | B | S |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh: “Paket makan siang: teh atau kopi (pilih satu).” XOR muncul di banyak tempat dalam komputer, misalnya pada bit paritas dan berbagai algoritma sandi.
C.5 Implikasi p → q — “jika … maka …”
Inilah konektif yang paling sering membingungkan, sekaligus yang paling penting. Pada p → q, proposisi p disebut hipotesis (premis) dan q disebut konklusi.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Kenapa baris ketiga dan keempat bernilai B? Pakai analogi janji. Misalkan dosen berkata:
“Jika kamu hadir di semua pertemuan, maka kamu mendapat poin bonus.”
| Hadir semua? (p) | Dapat bonus? (q) | Janji dosen | Nilai p → q |
|---|---|---|---|
| Ya | Ya | ditepati | B |
| Ya | Tidak | dilanggar! | S |
| Tidak | Ya | tidak dilanggar (dosen baik hati) | B |
| Tidak | Tidak | tidak dilanggar (syaratnya tak terpenuhi) | B |
Janji hanya dilanggar pada satu keadaan: syarat terpenuhi, tetapi hasilnya tidak diberikan. Selebihnya, janji tidak pernah “berbohong”.
Satu implikasi, banyak cara mengucapkannya
| Kalimat | Ditulis sebagai |
|---|---|
| Jika p, maka q | p → q |
| q jika p (perhatikan arahnya!) | p → q |
| p hanya jika q | p → q |
| p cukup untuk q / p adalah syarat cukup bagi q | p → q |
| q perlu untuk p / q adalah syarat perlu bagi p | p → q |
| Apabila p, q / p mengakibatkan q | p → q |
“p hanya jika q” adalah p → q, bukan q → p. Cara mengingatnya: “Aku ke kampus hanya jika tidak hujan” artinya kalau aku ke kampus, pasti tidak hujan. (p: aku ke kampus; q: tidak hujan.)
Kebenaran vakum: “Jika 2 + 2 = 5, maka bulan terbuat dari keju” bernilai B. Hipotesisnya salah, jadi janjinya tidak pernah diuji.
if bukan implikasi. Pernyataan if di pemrograman adalah perintah memilih cabang; implikasi adalah proposisi yang bernilai B atau S.
Dari p → q kita bisa membuat tiga “saudara”: konvers q → p, invers ¬p → ¬q, dan kontraposisi ¬q → ¬p. Kabar penting: kontraposisi selalu senilai dengan p → q, sedangkan konvers dan invers tidak. Contoh: “Jika hujan, jalan basah” senilai dengan “Jika jalan tidak basah, tidak hujan”. Tetapi “Jika jalan basah, hujan” belum tentu benar — bisa saja jalan baru disiram.
C.6 Biimplikasi p ↔ q — “jika dan hanya jika”
Biimplikasi bernilai B bila p dan q bernilai sama (sama-sama B atau sama-sama S), dan S bila berbeda. Ia dibaca “p jika dan hanya jika q” (disingkat jhj, dalam bahasa Inggris iff) atau “p adalah syarat perlu dan cukup bagi q”.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Contoh: “Bilangan bulat n genap jika dan hanya jika n habis dibagi 2.” Berlaku dua arah. Dalam definisi matematika, kata “jika” sering dimaksudkan sebagai “jika dan hanya jika” — konvensi yang umum, jadi perhatikan konteksnya.
C.7 Kartu ringkasan
Semua konektif dua-variabel dalam satu tabel. Fotokan, tempel di mejamu.
| p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p ⊕ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | S | B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | B | B | S | S |
| S | B | B | S | B | B | B | S |
| S | S | B | S | S | S | B | B |
Pola hafalan: ∧ B hanya jika keduanya B · ∨ S hanya jika keduanya S · ⊕ B jika beda · → S hanya pada B → S · ↔ B jika sama.
C.8 Urutan pengerjaan (presedensi)
Seperti perkalian didahulukan dari penjumlahan, ada urutan prioritas operator logika:
| Urutan | Operator | Contoh |
|---|---|---|
| 1 (paling dulu) | ¬ | ¬p ∧ q dibaca (¬p) ∧ q |
| 2 | ∧ | p ∨ q ∧ r dibaca p ∨ (q ∧ r) |
| 3 | ∨ | — |
| 4 | → | p ∧ q → r dibaca (p ∧ q) → r |
| 5 (paling akhir) | ↔ | — |
Operator ⊕ tidak punya urutan yang seragam di semua buku, dan p → q → r bisa ditafsirkan dua cara. Kalau ragu, beri kurung.
DTabel Kebenaran Proposisi Majemuk
Memeriksa semua kemungkinan secara sistematis
Tabel kebenaran adalah “alat uji” logika: ia mendaftar semua kemungkinan nilai proposisi atomik, lalu menghitung nilai rumus untuk setiap kemungkinan. Tidak ada yang terlewat, tidak ada yang ditebak.
D.1 Resep lima langkah
- Daftar semua proposisi atomik. Jika ada n proposisi, tabelmu punya 2ⁿ baris.
- Isi kolom variabel dengan pola setengah-setengah: kolom pertama 50% B lalu 50% S; kolom berikutnya separuhnya lagi; dan seterusnya sampai kolom terakhir berselang-seling B, S, B, S.
- Buat kolom bantu untuk setiap bagian rumus, dari yang paling dalam (dalam kurung / negasi) ke luar, mengikuti presedensi.
- Hitung kolom akhir dari kolom-kolom bantu — jangan melompat.
- Periksa satu baris secara acak dengan menghitung ulang dari awal.
D.2 Contoh 1 — dua variabel
Bandingkan ¬(p ∧ q) dengan ¬p ∨ ¬q. Kolom hijau adalah kolom bantu; kolom kuning adalah hasil yang kita bandingkan.
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | B |
Dua kolom kuning identik di setiap baris. Artinya kedua rumus itu senilai. Ini salah satu Hukum De Morgan, dan kita akan membahasnya penuh pekan depan.
D.3 Contoh 2 — tiga variabel
Tentukan nilai (p ∨ q) → r. Dengan tiga variabel, tabelnya punya 2³ = 8 baris.
| p | q | r | p ∨ q | (p ∨ q) → r |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | B | S | B | S |
| B | S | B | B | B |
| B | S | S | B | S |
| S | B | B | B | B |
| S | B | S | B | S |
| S | S | B | S | B |
| S | S | S | S | B |
Contoh pengecekan baris terakhir (p = q = r = S): p ∨ q = S, lalu S → S = B. Cocok dengan tabel. Perhatikan juga baris ketiga: p ∨ q = B tetapi r = S, jadi implikasinya S.
D.4 Contoh 3 — tantangan kecil
Hitung [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r). Rumus ini mengekspresikan logika sehari-hari: “kalau A berakibat B, dan B berakibat C, maka A berakibat C”.
| p | q | r | p → q | q → r | gabungan ∧ | p → r | seluruh rumus |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B | B | B |
| B | B | S | B | S | S | S | B |
| B | S | B | S | B | S | B | B |
| B | S | S | S | B | S | S | B |
| S | B | B | B | B | B | B | B |
| S | B | S | B | S | S | B | B |
| S | S | B | B | B | B | B | B |
| S | S | S | B | B | B | B | B |
Kolom terakhir bernilai B di semua baris. Rumus seperti ini disebut tautologi — benar apa pun nilai p, q, r. Pekan depan kita akan memburu tautologi dan menyusun argumen yang dijamin sahih.
D.5 Mengapa kita butuh cara yang lebih cerdas?
Jumlah baris tabel kebenaran naik dua kali lipat untuk setiap tambahan variabel:
| Jumlah variabel n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jumlah baris 2ⁿ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 1.024 | 1.048.576 | 1.073.741.824 |
Untuk 30 variabel, satu miliar lebih baris — tak mungkin dikerjakan tangan. Karena itu pekan depan kita belajar hukum-hukum logika dan aturan inferensi: cara menyederhanakan dan membuktikan tanpa menulis semua baris.
Pola pengisian kolom untuk tiga variabel: kolom p → BBBB SSSS; kolom q → BB SS BB SS; kolom r → B S B S B S B S. Kalau tabelmu tidak begini, urutan barismu akan berantakan dan mudah salah baca.
EDari Bahasa Sehari-hari ke Logika
Menerjemahkan kalimat menjadi rumus
Bahasa Indonesia penuh nuansa dan sering ambigu; logika menuntut ketepatan. Menerjemahkan di antara keduanya adalah keterampilan inti seorang informatikawan — spesifikasi sistem, kueri basis data, dan aturan akses semuanya ditulis begini.
E.1 Strategi tiga langkah
- Cari proposisi atomiknya dan beri nama. Tulis sebagai kalimat positif dan lengkap (“hari ini hujan”, bukan “tidak hujan”).
- Tandai kata penghubungnya dan petakan ke konektif.
- Susun rumus dengan kurung sesuai cakupan, lalu baca kembali ke bahasa Indonesia untuk memastikan maknanya tidak bergeser.
E.2 Kamus kata penghubung
| Kata / frasa | Konektif | Catatan |
|---|---|---|
| tidak, bukan, tidak benar bahwa | ¬ | Perhatikan cakupan negasi. |
| dan, serta, tetapi, namun, meskipun, sedangkan | ∧ | Nuansa kontras hilang. |
| atau | ∨ | Anggap inklusif, kecuali ada penegasan. |
| atau … tetapi tidak keduanya; salah satu saja | ⊕ | Tanda eksplisit untuk eksklusif. |
| jika … maka; bila; apabila; kalau | → | “q jika p” tetap p → q. |
| p hanya jika q; p cukup untuk q | p → q | Anak panah menuju “hanya jika”. |
| p perlu untuk q | q → p | Syarat perlu: arah dibalik. |
| jika dan hanya jika; syarat perlu dan cukup | ↔ | Dua arah. |
| q kecuali p | ¬p → q | Konvensi umum; “kecuali” kerap ambigu. |
E.3 Contoh terkerjakan
Semua kalimat berikut karangan untuk latihan.
Kamus: p: hujan deras; q: jalur Pantura banjir; r: kuliah dialihkan ke daring
Rumus: (p ∧ q) → r
Tanpa kurung pun “p ∧ q → r” dibaca (p ∧ q) → r, tetapi kurung membuat maksudnya tegas.
Kamus: p: Rina membawa laptop; q: Rina meminjam laptop lab
Rumus: p ⊕ q
Setara dengan (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) — cek dengan tabel kebenaran sendiri.
Kamus: p: kamu boleh mengambil Struktur Data; q: kamu lulus Dasar Pemrograman
Rumus: p → q
“Hanya jika” menunjuk ke konklusi. Salah kaprah: q → p (itu berarti lulus Dasar Pemrograman cukup untuk boleh mengambil).
Kamus: p: program berjalan tanpa error; q: sintaks benar; r: semua variabel terdefinisi
Rumus: p ↔ (q ∧ r)
Benarkah ini di dunia nyata? Belum tentu (ada galat logika). Tugas kita hanya menerjemahkan.
Kamus: p: server bisa diakses; q: VPN aktif
Rumus: ¬q → ¬p (senilai dengan p → q)
Baca: “Jika VPN tidak aktif, server tidak bisa diakses”. Kontraposisinya: “Jika server bisa diakses, VPN aktif.”
E.4 Kesalahan yang paling sering
| Kesalahan | Mengapa keliru | Perbaikan |
|---|---|---|
| Menulis “p hanya jika q” sebagai q → p | Arah terbalik | p → q |
| Memasukkan negasi ke kamus (p: “tidak hujan”) | Membingungkan saat harus menegasikan lagi | Atomik positif; negasi pakai ¬ |
| Menganggap “atau” selalu berarti eksklusif | Logika baku memakai ∨ yang inklusif | Pakai ⊕ hanya jika ada “tetapi tidak keduanya” |
| Menyamakan “Tidak benar bahwa hujan dan dingin” dengan “Tidak hujan dan dingin” | Cakupan ¬ berbeda | ¬(p ∧ q) ≠ ¬p ∧ q |
Terjemahkan: (a) “Aku lulus jika aku belajar dan tidak menyontek.” (b) “Wi-Fi menyala hanya jika router tersambung listrik.”
Lihat jawaban contoh
(a) p: aku belajar; q: aku menyontek; r: aku lulus → (p ∧ ¬q) → r. (b) p: Wi-Fi menyala; q: router tersambung listrik → p → q.
FLogika di Dalam Kode
Memeriksa tabel kebenaran dengan Python
Setiap bahasa pemrograman membawa logika proposisional di dalamnya: tipe data boolean. Di Python, nilainya True dan False; konektifnya and, or, dan not. Kamu bisa menjalankan semua kode di bawah di Google Colab — tanpa instalasi apa pun.
F.1 Konektif dasar
Kode Python
Keluaran
F.2 Pembangkit tabel kebenaran
Python tidak punya operator bawaan untuk → dan ↔, tetapi mudah dibuat: p → q senilai dengan ¬p ∨ q (cek sendiri di tabel!), dan p ↔ q cukup p == q. Fungsi product dari itertools membangkitkan semua kombinasi nilai.
Kode Python
Keluaran
Bandingkan keluaran ini dengan Kartu Ringkasan di C.7. Harus persis sama — dan sekarang komputer yang menghitungnya, bukan kamu.
F.3 Mengecek tautologi dengan kode
Ingat rumus di D.4? Kita bisa membuktikan ia benar di semua baris dengan satu baris kode:
Kode Python
Keluaran
F.4 Bit = proposisi
Operator bitwise &, |, ^ bekerja pada setiap bit sekaligus. Anggap 1 sebagai B dan 0 sebagai S — maka setiap posisi bit adalah satu proposisi!
Kode Python
Keluaran
Urutan penting dalam kode, tidak dalam logika. Dalam logika, p ∧ q dan q ∧ p sama saja. Dalam Python, and berhenti begitu hasilnya pasti (short-circuit): x != 0 and 10 / x > 2 → aman untuk x = 0 (hasilnya False, tanpa pembagian). Membaliknya menjadi 10 / x > 2 and x != 0 akan memicu galat pembagian nol.
Ubah hadir_semua dan dapat_bonus di F.1 ke keempat kombinasi, lalu cocokkan dengan tabel C.2–C.4.
GJendela Keilmuan
Dari Khwarazm sampai chip di ponselmu
Logika bukan penemuan kemarin sore. Ia tumbuh dari percakapan panjang lintas zaman dan lintas budaya — dan beberapa potongnya akan terasa dekat dengan dunia yang kamu kenal.
Gambar 3. Enam penanda perjalanan dari “algoritma” hingga kurikulum informatika modern.
G.1 Al-Khwarizmi dan asal kata “algoritma”
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (sekitar 780–850) adalah matematikawan dan astronom Muslim. Salah satu karyanya memperkenalkan angka Hindu-Arab beserta cara menghitungnya ke dunia Barat; naskah itu bertahan dalam terjemahan Latin berjudul Algoritmi de numero Indorum. Dari nama penulisnya yang dilatinkan menjadi “Algoritmi” inilah istilah algoritma lahir, dan dari judul bukunya yang paling terkenal lahir kata aljabar. Jadi setiap kali kamu menulis program, kamu memakai kata yang menyimpan nama seorang ilmuwan dari wilayah Khwarazm di Asia Tengah.
G.2 Mantiq di pesantren dan padanannya
As-Sullam al-Munawraq fi ‘Ilm al-Manthiq adalah syair pengantar ilmu mantiq karya Syekh Abdurrahman al-Akhdhari (ulama Aljazair, abad ke-16), yang menazamkan ringkasan logika Isaghuji karya al-Abhari. Kitab ini dikenal luas sebagai bacaan dasar mantiq dalam kurikulum pesantren. Di pekan 2 kita akan melihat bahwa beberapa istilahnya punya padanan konseptual dalam logika modern:
| Istilah mantiq | Padanan konseptual | Dibahas |
|---|---|---|
| qadhiyyah (khabar) | proposisi | hari ini |
| qadhiyyah syarthiyyah muttashilah | pernyataan kondisional “jika … maka …” (→) | pekan 2 |
| qadhiyyah syarthiyyah munfashilah | pernyataan disjungtif “baik … atau …” (∨) | pekan 2 |
| qiyas | argumen (silogisme) | pekan 2 |
Ini padanan konseptual, bukan kesamaan. Mantiq dan logika simbolik tumbuh dari tradisi, tujuan, dan notasi yang berbeda. Menyamakan keduanya mentah-mentah sama kelirunya dengan mengabaikan kemiripannya.
G.3 George Boole: logika bertemu aljabar
George Boole (1815–1864) menerbitkan The Mathematical Analysis of Logic pada 1847 dan karya yang lebih matang, An Investigation of the Laws of Thought, pada 1854. Gagasannya: penalaran logis dapat dinyatakan dengan simbol dan dioperasikan dengan aturan mirip aljabar. Dari sinilah istilah aljabar Boolean dan tipe data boolean berasal. Kamu akan bertemu aljabar Boolean lagi di pertemuan 15.
G.4 Claude Shannon: dari aljabar ke sirkuit
Pada 1937, Claude Shannon menulis tesis masternya di MIT, A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (versi artikelnya terbit 1938). Ia menunjukkan bahwa aljabar Boolean dapat dipakai untuk menyederhanakan susunan relai pada pusat telepon otomatis — dan sebaliknya, susunan relai dapat dipakai untuk menyelesaikan persoalan aljabar Boolean. Itulah jembatan dari ∧, ∨, ¬ di atas kertas ke gerbang logika di dalam prosesor.
Prinsip yang dikaitkan dengan Nahdlatul Ulama berbunyi al-muhafazhah ‘ala al-qadim ash-shalih wal-akhdzu bil-jadid al-ashlah — memelihara tradisi lama yang baik dan mengambil hal baru yang lebih baik. Di ruang kelas ini, kita memegang dua-duanya: tradisi mantiq yang telah lama dipelajari di pesantren, dan logika simbolik modern yang dijalankan mesin-mesin kita. Tugas kita memahami keduanya, lalu menilai dengan jernih.
Setiap klaim yang kamu terima di grup percakapan adalah proposisi: ia punya nilai B atau S, meski kita belum tahu. Kebiasaan logis bermula dari sini — nyatakan klaimnya dengan jelas, lalu periksa buktinya sebelum membagikannya. Anjuran memeriksa kabar dengan teliti (tabayyun) sebelum menyebarkannya, seperti dalam QS. Al-Hujurat: 6, sejalan dengan kebiasaan itu. Kejujuran ilmiah (shidq) dimulai dari kejelasan menyatakan apa yang kita klaim.
HLatihan: Mencipta (C6)
Merancang rumus, tabel, dan skenario milikmu sendiri
Latihan ini berada pada level C6 (mencipta): kamu tidak memilih jawaban jadi, tetapi merancang sendiri rumus, tabel keputusan, ekspresi kode, dan skenario. Ada enam tantangan dengan total 100 poin. Penilaian dilakukan otomatis dengan menguji rancanganmu pada seluruh baris tabel kebenaran, sehingga rumus yang berbeda tetapi senilai tetap dihitung benar.
Kerjakan sendiri dulu di kertas atau di Colab. Tombol Uji hanya menampilkan tabel dari rancanganmu sendiri sebagai bahan memeriksa maksud soal. Kunci jawaban tidak ditampilkan, baik sebelum maupun sesudah skor dihitung.
Jika kamu memakai AI atau sumber lain untuk membantu mengerjakan latihan yang dinilai, sebutkan alat dan bagian yang dibantu, dan pastikan kamu bisa menjelaskan setiap langkah dengan kata-katamu sendiri.
Tantangan 1 · Rakit rumus dari aturan 15 poin
Laboratorium komputer meminjamkan laptop dengan aturan berikut: laptop boleh dipinjam jika mahasiswa terdaftar dan tidak sedang menunggak pengembalian, atau jika ada surat tugas dari dosen. Rakitlah satu rumus untuk pernyataan “laptop boleh dipinjam”.
Kamus: p = mahasiswa terdaftar; q = mahasiswa sedang menunggak pengembalian; r = ada surat tugas dari dosen.
Tantangan 2 · Rancang dari spesifikasi 15 poin
Sebuah lomba disetujui bila sedikitnya dua dari tiga juri menyetujuinya. Rancanglah rumus yang bernilai B tepat pada keadaan itu. Batasan: hanya boleh memakai ¬, ∧, ∨, dan kurung. Rumus yang berbeda tetapi senilai tetap diterima.
Kamus: p, q, r = juri pertama, kedua, dan ketiga menyetujui.
Tantangan 3 · Ciptakan rumus senilai 15 poin
Ciptakan rumus yang senilai dengan p ↔ q, tetapi hanya boleh memakai ¬, ∧, ∨, dan kurung. Petunjuk kecil: tulis dulu keadaan-keadaan ketika p ↔ q bernilai B, lalu gabungkan.
Tantangan 4 · Terjemahkan ke kode Python 15 poin
Susun ekspresi Python untuk fungsi xor(p, q) dengan hanya memakai and, or, dan not — tanpa != maupun ^. Ingat: p ⊕ q bernilai B jika tepat satu yang B.
Tantangan 5 · Rancang tabel keputusan 20 poin
Untuk server beta, tim keamanan menetapkan dua kebijakan: (1) jika pengguna terautentikasi, maka VPN harus aktif; (2) server tidak sedang dalam masa pemeliharaan. Akses diizinkan tepat ketika kedua kebijakan itu terpenuhi. Rancanglah kolom keputusan: ketuk sel pada kolom terakhir untuk memilih B atau S.
Kamus: p = pengguna terautentikasi; q = VPN aktif; r = server sedang dalam masa pemeliharaan.
| p | q | r | Akses diizinkan? |
|---|---|---|---|
| B | B | B | |
| B | B | S | |
| B | S | B | |
| B | S | S | |
| S | B | B | |
| S | B | S | |
| S | S | B | |
| S | S | S |
Tantangan 6 · Ciptakan skenario 20 poin
Tim jaringan menulis tiga aturan firewall: (1) jika pengguna terautentikasi atau koneksi berasal dari luar kampus, maka VPN aktif; (2) VPN aktif hanya jika pengguna terautentikasi; (3) pengguna terautentikasi jika dan hanya jika koneksi tidak berasal dari luar kampus. Ciptakan satu skenario (nilai p, q, dan r) yang membuat ketiga aturan bernilai B sekaligus.
| Proposisi | Nilai di skenariomu |
|---|---|
| p = pengguna terautentikasi | |
| q = koneksi berasal dari luar kampus | |
| r = VPN aktif |
Refleksi singkat (2 menit)
Tidak dinilai. Catatanmu tersimpan di peramban ini.
1. Sebutkan dua mata kuliah atau teknologi yang akan memakai logika, dan jelaskan satu alasannya.
2. Konektif mana yang paling sering membuatmu salah? Tuliskan satu contoh kalimat sehari-hari untuk konektif itu.
3. Pilih satu klaim yang kamu temui minggu ini (berita, media sosial, obrolan). Tuliskan sebagai proposisi, lalu jelaskan bagaimana kamu akan memeriksa kebenarannya.
Bukti penyelesaian pelajaran
Unduh sebagai gambar PNG yang memuat skormu
Setelah menyelesaikan Latihan (Bagian H) dan menghitung skor, isi namamu di bawah, lalu unduh bukti penyelesaian berupa gambar PNG. Bukti ini memuat nama, skor, nilai huruf, tanggal, dan kode bukti. Simpan atau kirimkan sebagai bukti telah menyelesaikan pelajaran ini.
Selesaikan latihan di atas dan hitung skor untuk membuka bukti penyelesaian.
IRangkuman dan Kartu Contekan
Satu halaman untuk ditempel
| Konsep | Ringkasan |
|---|---|
| Proposisi | Kalimat pernyataan yang bernilai B saja atau S saja. Bukan: tanya, perintah, seruan, harapan, kalimat terbuka, opini tanpa kriteria, paradoks. |
| Nilai kebenaran | B / S (T / F; 1 / 0). |
| ¬p | Membalik nilai. |
| p ∧ q | B hanya jika keduanya B. Kata: dan, tetapi, meskipun, serta. |
| p ∨ q | S hanya jika keduanya S. Inklusif. |
| p ⊕ q | B jika tepat satu B. “Salah satu saja”. |
| p → q | S hanya pada p = B, q = S. “Hanya jika” menunjuk ke konklusi. |
| p ↔ q | B jika p dan q sama. “Jika dan hanya jika”. |
| Presedensi | ¬ > ∧ > ∨ > → > ↔ — kalau ragu, beri kurung. |
| Tabel kebenaran | 2ⁿ baris; kolom bantu dari dalam ke luar; periksa satu baris. |
| Terjemahan | Atomik positif → tandai penghubung → susun dengan kurung → baca balik. |
Daftar periksa: aku sudah bisa …
Pertemuan 2: tautologi dan kontradiksi, ekuivalensi logika dan hukum-hukumnya (De Morgan dan kawan-kawan), konvers–invers–kontraposisi, serta aturan inferensi untuk menguji argumen. Bersiaplah — Tugas 1 (ProBL) dikumpulkan di pertemuan itu.
§Daftar Pustaka
Rujukan modul
Utama
- Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.). New York: McGraw-Hill Education. Bab 1: §1.1 Propositional Logic; §1.2 Applications of Propositional Logic.
- Munir, R. (2020). Matematika Diskrit (Revisi ketujuh). Bandung: Informatika.
- Bahan ajar dosen pengampu (slide, modul, lembar latihan, notebook Python) pada LMS.
Pendukung
- ACM, IEEE Computer Society, & AAAI. (2024). Computer Science Curricula 2023 (CS2023). ACM Press, IEEE Computer Society Press, & AAAI Press. Area pengetahuan Mathematical and Statistical Foundations (MSF). https://csed.acm.org
- Al-Akhdhari, ‘A. al-R. as-Sullam al-Munawraq fi ‘Ilm al-Manthiq (teks mantiq pesantren).
- Boole, G. (1847). The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning.
- Boole, G. (1854). An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. London: Walton and Maberly.
- Shannon, C. E. (1938). A symbolic analysis of relay and switching circuits. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. (Berasal dari tesis master MIT, 1937.)
- Encyclopaedia Britannica. (2026, 24 Agustus). al-Khwārizmī. https://www.britannica.com/biography/al-Khwarizmi (diakses 7 Oktober 2026).
- NU Online. (2019, 25 Maret). NU: Empat Tahun Menuju Abad Kedua. https://nu.or.id/opini/nu-empat-tahun-menuju-abad-kedua-TfVmr
- Plus Magazine. Mathematical mysteries: the Goldbach conjecture. https://plus.maths.org (diakses 7 Oktober 2026).
Seluruh contoh kalimat di modul ini adalah karangan untuk keperluan latihan, kecuali yang disertai sumber. Jika kamu mengutip modul ini dalam tugas, kutip juga sumber primernya.
Gabung dalam percakapan